Einstein Metriken auf

Exotischen Sphären

KRZYSZTOF GALICKI Max-Planck-Institut für Mathematik, Bonn

und

University of New Mexico, Albuquerque Hamburg, Dezember 2004

INHALT

• Die Riemannschen Mannigfaltigkeiten und verschiedene Krümmungstensoren

• Die Gleichung von Einstein

• Einstein Metriken auf Standardsphären

• Milnor Sphären und Milnor-Kervaire-Gruppen • Die Brieskorn-Mannigfaltigkeiten

• Die Sätze von Brieskorn

• Die Sasakische Geometrie

• Die Sasakischen Strukturen auf Brieskorn Mannigfaltigkeiten

• Einstein Metriken auf Brieskorn Sphären

• Meine Mitarbeiter: Der Artikel Einstein metrics on spheres ist eine gemeinsame Arbeit mit Charles Boyer (Albuquerque) und János Kollár (Princeton) und wird in den Annals of Mathematics veröffentlicht.

• Diese Folien können bei www.galicki.com eingesehen werden.

• Riemannsche Mannigfaltigkeiten und Krümmung

Definition: Sei M^{n} eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Eine Riemannsche Metrik auf M^{n} ist ein Tensorfeld g vom Typ (2,0), das beides, symmetrisch und an jeder Stelle p ∈ M^{n} positiv definit ist.

Hauptsatz der Riemannschen Geometrie: Sei (M^{n}, g) eine Riemannsche Mannigfaltigkeit. Es gibt genau einen linearen Zusammenhang ∇ für M^{n} mit

• (∇_{Z}g)(X, Y) =

Z · g(X, Y) − g(∇_{Z}X, Y) − g(X, ∇_{Z}Y) = 0,

• T_{∇}(X, Y) := ∇_{X}Y − ∇_{Y} X − [X, Y] = 0,

für alle X, Y, Z ∈ Γ(T M). Dieser ∇ heißt der Zusammenhang von Levi-Civita.

Für jeden linearen Zusammenhang definiert man seine Krümmung. Im Falle, dass ∇ ein Levi-Civita Zusammenhang ist, erhalten wir die Riemannsche Krümmung.

Definition: Der Tensor vom Typ (3,1)

R(X, Y)Z := (∇_{X}∇_{Y} − ∇_{X}∇_{Y} − ∇_{[X,Y]})Z

heißt der Riemannsche Krümmungstensor.

Aus dem Krümmungstensor gewinnt man durch Kontraktion (Spurbildung) einfachere Krümmungsinvarianten.

Definition: Der symmetrische Tensor vom Typ (2,0)

Ric(X, Y) = Tr (Z ↦ R(X, Z)Y)

heißt die Ricci-Krümmung und die Funktion

S_{g} = Tr Ric

heißt die Skalarkrümmung der Riemannschen Metrik g auf M^{n}.

Definition: Sei p ∈ M^{n} und σ ⊂ T_{p}M eine 2-Ebene. Sei X, Y ∈ T_{p}M eine Basis der Ebene σ. Dann nennt man

K(p, σ) = \frac{R(X, Y, Y, X)}{g(X, X)g(Y, Y) − g^{2}(X, Y)}

die Schnittkrümmung der Mannigfaltigkeit M^{n} im Punkt p und in Richtung der 2-Ebene σ.

Definition: (M^{n}, g) heißt ein Raum konstanter Schnittkrümmung (oder Raumform), falls

K(p, σ) = λ(p)

unabhängig von σ ist.

Satz: Die Schnittkrümmung jeder Raumform (M^{n}, g), n ≥ 3, ist konstant λ(p) = λ und

R(X, Y)Z = λ[g(Y, Z)X − g(X, Z)Y].

Definition: (M^{n}, g) heißt Einstein-Raum falls

Ric(X, Y) = λg(X, Y)

A priori kann λ = S_{g}/n eine Funktion auf M^{n} sein, aber als Resultat aus der zweiten Bianchi-Identität, folgt

Satz: Ist (M^{n}, g) ein zusammenhängender Einstein-Raum der Dimension n ≥ 3, so ist die Skalarkrümmung konstant.

Satz: Jeder 3-dimensionale Einstein-Raum ist eine Raumform.

Die Fundamentale Frage [R. Thom, 1958]: Sei M^{n} eine glatte Mannigfaltigkeit. Gibt es eine Riemannsche Metrik g auf M^{n}, die am besten die globalen (topologischen, geometrischen) Eigenschaften von M^{n} beschreibt? Gibt es eine “ausgezeichnete” Klasse von Riemannschen Metriken?

Beispiel 1. Der Ricci-Fluß und die Poincaré-Vermutung.

Der Ricci-Fluß

\frac{d}{dt}g(t) = −2Ric_{g(t)}.

ist eine nichtlineare Evolutionsgleichung für die Riemannsche Metrik. In den 80er Jahren ist dieser Fluß von R. Hamilton systematisch untersucht worden.

Satz von Hamilton: Jeder 3-dimensionale Raum positiver Ricci-Krümmung entwickelt sich zum Raum konstanter Schnittkrümmung (Raumform). Insbesondere ist jede glatte geschlossene, einfach zusammenhängende 3-dimensionale Mannigfaltigkeit positiver Ricci-Krümmung homöomorph zur 3-Sphäre.

Poincaré-Vermutung [H. Poincaré, 1904]: Jede geschlossene, einfach zusammenhängende 3-dimensionale Mannigfaltigkeit ist homöomorph zur 3-Sphäre.

Verallgemeinerte Poincaré-Vermutung : Jede geschlossene n-Mannigfaltigkeit mit dem Homotopietyp (homotopieäquivalent) einer n-Sphäre ist zur n-Sphäre homöomorph.

Erinnerung:

• Smale [1961]: n > 6, (Fields Medal)

• Zeeman [1961]: n = 5,

• Stalling [1962]: n = 6,

• Smale [1963]: n ≥ 5,

• Freedman [1982]: n = 4, (Fields Medal)

• Perelman [2005]: n = 3?

Bemerkung: So oder so gibt es einen tiefgründigen Zusammenhang zwischen der Topologie und der Krümmung. Die Poincaré-Vermutung ist ein rein topologisches Problem. Jedoch gehören die Ricci-Fluß-Methoden zur klassischen Riemannschen Geometrie.

Beispiel 2. [Calabi-Vermutung]

Definition: Sei (M^{2n}, g, J, ω_{g}) eine glatte Mannigfaltigkeit mit der Metrik g, der fast-komplexen Struktur J, und der symplektischen 2-Form ω_{g} so dass

g(JX, JY) = g(X, Y), ω_{g}(X, Y) = g(X, JY)

gilt. Falls J parallel ist (d.h. ∇J = 0), nennt man (M^{2n}, g, J, ω_{g}) Kählersche Mannigfaltigkeit.

Im Jahr 1933 sind die Eigenschaften von solchen Metriken von Kähler untersucht worden. Er zeigt insbesondere, dass der Ricci-Krümmungstensor folgende einfache Gestalt hat:

R_{ij̄} = −\frac{∂}{∂z_{i}} \frac{∂}{∂z̄_{j}} ln(det(g_{ij̄})).

Erst viel später haben Chern [1948] und dann Calabi [1954] die Wichtigkeit dieser bemerkenswerten Formel verstanden. Man führt eine 2-Form

ρ_{ω} = −\frac{i}{2π}R_{ij̄}dz^{i} ∧ dz̄^{j},

ein und nennt sie Ricci-Form.

Dann realisiert man, dass die Kohomologieklasse [ρ_{ω}] unabhängig von der Kähler-Metrik ist. Man kann tatsächlich zeigen, dass [ρ_{ω}] ∈ H^{2}(M, ℝ) die erste Chernklasse von M ist,

[ρ_{ω}] = c_{1}(Z) := −c_{1}(K_{M}).

Danach hat Calabi gefragt:

Frage [Calabi]: Gilt auch die Umkehrung?

Calabi-Vermutung: Sei (M^{2n}, g, J, ω_{g}) eine Kählersche Mannigfaltigkeit und sei Φ jede reelle (1,1)-Form und gelte [Φ] = c_{1}(M). Dann trägt M^{2n} eine Kählersche Metrik h mit [ω_{h}] = [ω_{g}] so dass

ρ_{h} = Φ.

Der Satz von Yau: Die Vermutung gilt. Insbesondere, jede Kählersche Mannigfaltigkeit mit c_{1}(M) = 0 (d.h. trivialem kanonischen Bündel) trägt eine Kählersche Metrik, die Ricci-flach ist (Calabi-Yau-Raum).

Bemerkung: Beide Beispiele haben sehr viel mit der Einstein-Gleichung zu tun. Also, ist die Antwort auf die Frage von Thom vielleicht: Einstein-Metriken.

• Die Einstein-Gleichung

Erinnerung: Die Einstein-Gleichungen der allgemeinen Relativitätstheorie (ART) verbinden die geometrischen Krümmungsgrößen einer vierdimensionalen Mannigfaltigkeit (M^{4}, g) mit ihren, im Energie-Impuls-Tensor T enthaltenen, physikalischen Eigenschaften:

E := Ric − \frac{1}{2}S_{g} · g = κT − Λ · g

wobei Λ die kosmologische Konstante ist.

• Die kosmologische Konstante wurde erstmals von Einstein 1917 in seine Gravitationsgleichungen eingeführt. Nur so war es ihm möglich, ein statisches homogenes Weltmodell zu konstruieren.

• Das Hubble-Gesetz [1929]: unser Universum ist nicht statisch. Einstein antwortete: Λ “war der größte Irrtum meines Lebens”.

• Die Dunkle Materie: Aber, vielleicht auch nicht. Heute glauben Astrophysiker und Kosmologen, dass die kosmologische Konstante Λ ≠ 0.

In der ART ist (M^{4}, g) eine pseudo-Riemannsche Mannigfaltigkeit, nämlich eine Lorentzmannigfaltigkeit.

Die Vakuum-Einstein-Gleichung

Ric = 3Λ · g

ist in beiden Fällen und in allen Dimensionen sehr wichtig. Die Riemannschen Einstein-Räume findet man auch in der Physik von den Supersaiten, in Supergravitationstheorien und in der sogenannten M-theorie.

Frage 1: Gibt es eine Beziehung zwischen der Riemannschen Gometrie und der Topologie des Einstein-Raumes?

Frage 2: Gibt es viele Einstein-Räume? Also, wieviele Einstein Metriken gibt es auf einer glatten Mannigfaltigkeit M?

Die Antwort auf Frage 1 ist generell ja in den Dimensionen 3 und 4, aber wahrscheinlich nein in den Dimensionen größer als 4. Genauer: man weiß sehr wenig über dieses Problem.

Alle 3-dimensionalen Einstein-Mannigfaltigkeiten sind Raumformen. D.h. die meisten 3-Mannigfaltigkeiten tragen keine Einstein-Metrik.

Die Hindernisse in der Dimension 4

• Hitchin-Thorpe-Ungleichung (Thorpe [1969],

Hitchin [1974]):

(2χ ± 3τ)(M) ≥ 0.

Z.B., (2χ + 3τ)(kℂℙ^{2}#l\overline{ℂℙ^{2}}) = 4 + 5k − l.

• Das simpliziale Volumen von Gromov [1981]:

χ(M) < \frac{1}{2592π^{2}}||M||

ist ein homotopie invariantes Hindernis für große nicht-Abelsche Fundamentalgruppen π_{1}.

• Neue homotopie-invariante und nicht-homotopie invariante Hindernisse (mit Hilfe der Seiberg-Witten Eichtheorie) [Kotschick, LeBrun].

Frage: Sei M eine glatte Mannigfaltigkeit der Dimension größer als 4. Trägt M eine Einstein Metrik? Im Falle λ > 0:

• |π_{1}(M)| < ∞,

• Â(M) = 0 [Lichnerowicz, 1963],

• α(M) = 0 [Hitchin, 1974].

Die zweite Frage ist möglicherweise nicht sehr exakt. Generell, gibt es viele Beispiele von vollständigen Einstein Metriken auf offenen Mannigfaltigkeiten. Der Moduliraum der vollständigen Einstein Metriken auf ℝ^{4} ist unendlich-dimensional. Wenn M kompakt ist, ist die Situation ziemlich unterschiedlich. Die einzigen bekannten Beispiele von kompakten Ricci-flach Manningfaltigkeiten sind

• die Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten M^{2n} mit der Holonomiegruppe SU(n) [Yau, 1978],

• die Joyce-Mannigfaltigkeiten M^{7}, M^{8} mit den Holonomiegruppen G_{2} und Spin(7) [Joyce, 1996].

Bemerkung: Es gibt keine Beispiele der kompakten Ricci-flach (nicht-flach) Mannigfaltigkeiten der Dimensionen 5, 9, 11, 13, .... Für jedes neue Beispiel offeriert Arthur Besse ein Abendessen in einem französischen Sterne-Restaurant [Besse, 1987]. Generell, sind neue Einstein Metriken auf kompakten Mannigfaltigkeiten sehr schwer zu finden.

Erinnerung: Die Einstein Metriken auf Sphären

• Jede Standardsphäre S^{n}, n > 1, trägt die Metrik der konstanten Schnittkrümmung.

• Die Sphäre S^{4m+3}, m > 1 trägt die zweite Sp(m + 1)- homogene Einstein Metrik [Jensen, 1974].

• Die S^{15} hat eine dritte Spin(9)-invariante homogene Einstein Metrik [Bourguignon und Karcher, 1978].

• Auf Sphären gibt es keine anderen homogenen Einstein Metriken [Ziller, 1982].

• Böhm-Metriken auf S^{5}, S^{6}, S^{7}, S^{8}, und S^{9} [Böhm, 1998]. Bemerkung: Die Böhm-Metriken zeigen, dass es auch andere Einstein Metriken auf Sphären geben könnte. Also, stellt man sich die folgenden Fragen:

Frage 1: Gibt es andere nicht-homogene Einstein Metriken auf den Standardsphären?

Frage 2: Gibt es möglicherweise Einstein Metriken auf exotischen Sphären?

Frage 3: Wie groß ist der Raum aller Einstein Metriken auf einer gegebenen Sphäre?

•Die Gruppen der Homotopiesphären

Im Jahr 1956 überraschte John Milnor die mathematische Welt mit seiner Entdeckung der exotischen Sphären. Milnor zeigte, dass es 7-dimensionale Mannigfaltigkeiten Σ gibt, die homöomorph, aber nicht diffeomorph zur Standardsphäre sind. Damit war die Differentialtopologie geboren. Später zeigten Kervaire und Milnor [1963], dass die Menge der differenzierbaren orientierten Homotopiesphären der Dimension k > 5 eine Abelsche Gruppe Θ_{k} ist. Das Gruppenprodukt ist die zusammenhängende Summe. Also Θ_{k} hat eine Untergruppe bP_{k+1} der k-dimensionalen Homotopiesphären, die eine (k + 1)-dimensionale parallelisierbare Mannigfaltigkeit V_{k+1} berandet. Es gilt

• bP_{2m+1} = 0 für m ≥ 1,

• bP_{4m+2} = 0, oder ℤ_{2}. Zum Beispiel bP_{4m+2} = ℤ_{2} wenn 4m + 2 ≠ 2^{i} − 2. Aber bP_{4m+2} = 0 wenn m = 1, 3, 7, 15. Die volle Antwort auf die Frage wann diese Gruppe trivial ist, ist nicht bekannt.

• bP_{4m}, m ≥ 2 ist eine zyklische Gruppe der Ordnung

|bP_{4m}| = 2^{2m−2}(2^{2m−1} − 1) Zähler (\frac{4B_{m}}{m}),

wobei B_{m} die m-te Bernoullische Zahl ist.

\begin{matrix}k & Θ_{k} & bP_{k+1} \\ 5 & 0 & 0 \\ 6 & 0 & 0 \\ 7 & ℤ_{28} & ℤ_{28} \\ 8 & ℤ_{2} & 0 \\ 9 & ℤ_{2} × ℤ_{2} × ℤ_{2} & ℤ_{2} \\ 10 & ℤ_{6} & 0 \\ 11 & ℤ_{992} & ℤ_{992} \\ 12 & 0 & 0 \\ 13 & ℤ_{3} & 0 \\ 14 & ℤ_{2} & 0 \\ 15 & ℤ_{2} × ℤ_{8128} & ℤ_{8128} \\ 16 & ℤ_{2} & 0 \\ 17 & ℤ_{2} × ℤ_{2} × ℤ_{2} × ℤ_{2} & ℤ_{2} \\ 18 & ℤ_{2} × ℤ_{8} & 0 \\ 19 & ? & ℤ_{130,816} \end{matrix}

1966 hat Brieskorn eine einfache, schöne, geometrische Beschreibung für alle Homotopiesphären in der bP -Untergruppe gefunden.

• Brieskorn-Mannigfaltigkeiten

Brieskorn hat als Beispiele die folgenden Hyperflächen X(a) betrachtet: Es sei a = (a_{1}, …, a_{n}) ein beliebiges n-tupel von ganzen Zahlen a_{i} > 1. Dann ist X(a) die Hyperfläche in ℂ^{n} mit der Gleichung

f_{a}(z) = z_{1}^{a_{1}} + ⋯ + z_{n}^{a_{n}} = 0.

Ferner wird eine (2n − 3)-dimensionale kompakte, differenzierbare und orientierbare Mannigfaltigkeit L(a) definiert durch

L(a) = X(a) ∩ S^{2n−1}.

L(a) heißt Brieskorn-Mannigfaltigkeit. Milnor zeigte, dass L(a) mindestens (n−3)-fach zusammenhängend ist. Insbesondere ist L(a) ein Rand der (2n − 2)-dimensionalen parallelisierbaren Mannigfaltigkeit V_{a}.

Frage: Wann ist L(a) eine topologische Sphäre?

Jedem n-tupel a = (a_{1}, ⋯, a_{n}) ∈ ℤ_{+}^{n} ordnet man einen bewerteten Graphen G(a) zu. G(a) hat n Eckpunkte, die mit a_{1}, …, a_{n} bewertet sind. G(a) hat eine a_{i} und a_{j} verbindende Strecke für jedes Punktepaar a_{i}, a_{j} mit größtem gemeinsamen Teiler (a_{i}, a_{j}) > 1. Sei K die Komponente von G(a), in der die geraden a_{k} liegen. So kommen wir zu dem berühmten Brieskorn-Graph-Satz

Der Satz von Brieskorn: Die Mannigfaltigkeit L(a) (n ≥ 3) ist eine topologische Sphäre genau dann, wenn der a zugeordnete Graph G(a) eine der beiden folgenden Bedingungen erfüllt:

1. G(a) hat mindestens zwei isolierte Punkte,

2. G(a) hat einen isolierten Punkt und K besteht aus einer ungeraden Anzahl von Punkten, und für a_{i}, a_{j} ∈ K, mit i ≠ j ggT(a_{i}, a_{j}) = 2.

Frage: Sei L(a) eine topologische Sphäre. Wann ist L(a) eine Standardsphäre? Und wann ist sie exotisch?

• n = 2m gerade (dim(L) = 1 mod 4) Es ist entweder bP_{4m−2} = 0 und für jedes gewählte a ist L(a) diffeomorph zur Standardsphäre oder wir haben den

Satz von Brieskorn: Sei L(a_{1}, ..., a_{n}) eine topologische Sphäre, n = 2m ≥ 4 gerade und sei bP_{4m−2} ≠ 0. Die Mannigfaltigkeit L(a) ist eine exotische Sphäre dann und nur dann, wenn G(a) genau einen isolierten Punkt a_{k} und nur eine weitere Komponente hat und a_{k} = ±3 mod 8.

Beispiel: L(3, 2, 2, 2) ist eine 5-Sphäre. Es gibt keine exotischen Sphären der Dimension 5. L(3, 2, 2, 2, 2, 2) ist eine exotische Sphäre der Diemension 9, die sogenannte Kervaire-Sphäre.

• n = 2m + 1 ungerade (dim(L) = 3 mod 4) Dazu genügt die Signatur τ(V_{a}^{4m}) mit V_{a}^{4m} als berandeter parallelisierbarer Mannigfaltigkeit, deren Rand ∂V_{a}^{4m} diffeomorph zu L(a) ist. Sei ∂V_{a}^{4m} = L(a) und ∂V_{b}^{4m} = L(b). Dann sind L(a) ≃ L(b) orientierungstreu diffeomorph genau dann, wenn

τ(V_{a}^{4m}) = τ(V_{b}^{4m}) mod 8 · |bP_{4m}|.

Insbesondere ist L(a) eine Standardsphäre, wenn τ(V_{a}) = 0 mod 8 · |bP_{4m}|.

Frage: Und, wie kalkulieren wir die Signatur τ(V_{a}^{4m})? Brieskorn hat die folgende Formel für τ(V_{a}^{4m}) abgeleitet

#\{x ∈ ℤ^{2m+1} | 0 < x_{i} < a_{i} and 0 < ∑_{j=1}^{2m+1} \frac{x_{i}}{a_{i}} < 1mod2\}

−#\{x ∈ ℤ^{2m+1} | 0 < x_{i} < a_{i} and 1 < ∑_{j=1}^{2m+1} \frac{x_{i}}{a_{i}} < 2mod2\}.

Beispiel: Nehmen wir die 7-dimensionale Brieskorn-Mannigfaltigkeit L(6k−1, 3, 2, 2, 2). Nach dem Brieskorn-Graph-Satz ist das immer eine Homotopiesphäre. Es gilt τ(L) = 8k. Folglich ist L(5, 3, 2, 2, 2) = Σ_{1}^{7} ∈ bP_{8} = ℤ_{28} eine exotische 7-Sphäre und sie heißt Milnor-Generator (d.h. alle anderen Sphären sind die zusammenhängenden Summen von Σ_{1}^{7}).

Bemerkung: Für jedes a ist L(a) eine Untermannigfaltigkeit der (2n−1)-dimensionalen Sphäre S^{2n−1}. Welche induzierten geometrischen (Riemannschen) Strukturen gibt es auf L(a)?

Frage: Kann L(a) für gewisse a Einstein-Metriken tragen?

• Die Sasakische Geometrie

Definition: Eine (2n+1)-dimensionale Mannigfaltigkeit M heißt eine Kontakt-Mannigfaltigkeit, wenn es eine 1-Form η gibt auf M derart, dass

η ∧ (dη)^{n} ≠ 0

an jeder Stelle p ∈ M.

Lemma: Sei (M, η) eine Kontakt-Mannigfaltigkeit. Dann gibt es genau ein Vektorfeld ξ mit

ξ⌋η = 1, ξ⌋dη = 0.

Dieses ξ heißt Reeb-Vektorfeld.

Lemma: Sei (M, η) eine Kontakt-Mannigfaltigkeit. Dann ist der Kegel (C(M), ω) := (M × ℝ_{+}, d(r^{2}η)) die symplektische Mannigfaltigkeit.

Definition: Sei (M, η) eine Kontakt-Mannigfaltigkeit. Man sagt, dass eine Riemannsche Metrik g auf M eine Sasaki-Metrik ist, wenn der Kegel (C(M), ḡ, ω) := (M×ℝ_{+}, dr^{2}+r^{2}g, d(r^{2}η)) die Kähler-Mannigfaltigkeit ist. Man nennt S = (g, η, ξ) die Sasakistruktur. Wenn der Kegel der Calabi-Yau-Raum ist, nennt man (M, η, g, ξ) den Sasaki-Einstein-Raum.

Definitionen: Sei (M, η, g, ξ) eine kompakte Sasaki-Mannigfaltigkeit. Das Reeb-Vektorfeld ist ein Killing-Feld der Länge 1. Der Fluß dieses Killing-Vektorfeldes heißt Reeb-Fluß. Wenn alle Flußlinien geschlossen sind, nennt man diesen Fluß quasi-regulär (oder fast regulär). Dann definiert der Reeb-Fluß eine isometrische S^{1}-Wirkung auf M. Generell ist der Quotientenraum Z := M/S^{1} keine glatte Mannigfaltigkeit aber er ist eine V -Mannigfaltigkeit (oder ein Orbifold). Und M ist ein S^{1}-Prinzipal-V-Bündel über Z. Die Sasakistruktur heißt regulär, wenn Z eine glatte Mannigfaltigkeit und M ein S^{1}-Prinzipalbündel über Z sind.

Satz: Sei (M, η, g, ξ) eine Sasaki-Mannigfaltigkeit. Dann ist Z ein kompaktes Kähler-Orbifold. Im Falle, dass (M, η, g, ξ) auch Sasaki-Einstein ist, muß Z Kähler-Einstein sein.

Satz [Sasaki, 1976]: Alle Brieskorn-Mannigfaltig-keiten sind auch Sasaki-Mannigfaltigkeiten.

Beweis (Skizze): Wir definieren die folgenden kgV C_{i} = kgV(a_{1}, …, â_{i}, …, a_{n}), d = kgV(a_{1}, …, a_{n}). Seien w_{i} = C/C_{i} und w := (w_{1}, …, w_{n}). Dann gilt

f_{a}(λ^{w_{1}}z_{1}, ..., λ^{w_{n}}z_{n}) = λ^{d}f_{a}(z_{1}, ..., z_{n})

D.h. f_{a}(z) ist ein quasi-homogenes Polynom des Gewichtes w und des Grades d.

Betrachten wir eine w zugeordnete ℂ_{w}^{∗}-Wirkung auf ℂ^{n}, d.h. die Abbildung ϕ_{w} : ℂ^{∗} × ℂ^{n} → ℂ^{n} folgendermaßen

ϕ_{w}(λ, z) = (λ^{w_{1}}z_{1}, …, λ^{w_{n}}z_{n}).

Wir benuzen auch die zugeordnete S_{w}^{1}-Wirkung wenn |λ| = 1. Sei

(X(a) \ {0})/ℂ_{w}^{∗} := Z(a) =: L(a)/S_{w}^{1}.

Mann kann zeigen dass L(a) → Z(a) die Sasaki-Faserung ist.

In der Tat, die Mannigfaltigkeit L(a) hat eine kanonische quasi-reguläre Sasakistruktur weil sie eine Sasaki-Untermannigfaltigkeit von S^{2n−1} ist. Jede ungeraddimensionale Sphäre hat eine “gewichtete” Sasakistruktur (ξ_{w}, η_{w}, g_{w}). Der Quotientenraum dieser “gewichteten” S_{w}^{1}-Wirkung ist genau der gewichtete projektive Raum ℙ_{ℂ}^{n−1}(w) und das folgende Diagramm ist kommutativ:

L(a) ⟶ S_{w}^{2n+1}
↓π  ↓
Z(a) ⟶ ℙ(w).

Die horizontalen Abbildungen sind die Sasakische und die Kählersche Einbettung. □

Frage: Lassen Sie mich zu einer der vorherigen Fragen zurückkehren. Wir haben gesehen, dass ALLE Brieskorn-Mannigfaltigkeiten auch Sasaki-Mannigfaltigkeiten sind. Können einige von ihnen Sasaki-Einstein-Räume sein?

Antwort: Ja, überraschend viele können es sein.

• Sasaki-Einstein Metriken auf L(a)

Satz [Boyer,Galicki,Kollár’ 2003] Sei Z(a) der Quotientenraum der Brieskorn-Mannigfaltigkeit L(a). Seien C_{i} = kgV(a_{1}, …, â_{i}, …, a_{n}), b_{i} = ggT(C_{i}, a_{i}). Dann trägt Z(a) eine Kähler-Einstein Metrik, wenn

1. 1 < ∑_{i=0}^{n} \frac{1}{a_{i}},

2. ∑_{i=0}^{n} \frac{1}{a_{i}} < 1 + \frac{n}{n−1} min_{i}\{\frac{1}{a_{i}}\}, und

3. ∑_{i=0}^{n} \frac{1}{a_{i}} < 1 + \frac{n}{n−1} min_{i,j}\{\frac{1}{b_{i}b_{j}} \}.

In solchen Fällen trägt L(a) eine Sasaki-Einstein Metrik mit eindimensionaler Isometriegruppe.

Frage: Was gewinnen wir aus dem oben genannten Satz? Antwort: Einstein Metriken auf Homotopiesphären. Wir vermuten, dass unser Satz solche Metriken auf alle Homotopiesphären in der bP -Untergruppe ergibt. Diese Vermutung gilt für die n-Sphären der Dimensionen 1 mod 4 und dim(L) = 7, 11, 15.

Beispiele:

• Alle Milnor 7-Sphären sind auch Einstein-Räume.

• Die 13-Standardsphäre trägt mindestens 10^{9} verschiedene Familien von Einstein Metriken, eine Familie der Dimension 21300113901610.